数は量れるか、量は数えられるか | On counting and measuring

志賀浩二『数と量の出会い』2007 によると、今でこそ「数量」という言葉があるが、数と量はもともと全く異なる概念だったという。

考えてみれば、その通りだ。「数える」ことと「量る」ことは全然別の行為ですからね。たとえば、数えた結果が「ほぼ…」になることはありえない。ひぃふぅみぃ…と数えて「ほぼ十二枚でんな」と急に関西弁になると、すぐ番頭はんに「あほ!きちっと数えんか!」と怒られる。「きちっと数える」ことが可能だから怒られるわけだ。数がもっと多くなって、大阪の人口が「約250万」としても、それは下の方の桁を省略しているだけで、必要なら「約」を外した数は示せるはずだ。一方、量については、量るという行為が測定器を使う以上、その精度に応じて測定結果はつねに更新される。「1mの棒」はありえない。「約1m」「約 1.027 m」「約 1.02734m」… の棒しかないのだ。

その水と油のような数と量とがいかにして出会ったか。それがこの本の主題であり、そして同じようなこと –––「量を数える」みたいなこと ––– が数学以外の場面にもありそうだと思うわけだが、その前にもうちょっと数学。

究極の定規 “G” が開発されたとしよう。Gはどんな物体も望みの精度で正確に測定できるし、Gを装備した工作機械 MG は何でも正確な精度で物を作れる。「一辺が 1m の正方形」と入力すると、 MG は一瞬でその正方形を出力する。では、その正方形の対角線の長さを測りなさいと命令すると、精度ハ?と尋ねてくる。小数点以下百万桁といえば百万桁を、十億桁といえば十億桁を、MG は1秒もかからずに出してくる。こっちがそれを読むのに(読もうとは思わないが)1週間かかるとしても。その最初のいくつかは、二千年前のギリシャの数学者がすでに計算してある。

1.414 1.4142 1.41421 1.414213 1.4142135 …

それって、√2 のことでしょ?と答えないでほしい。まさにその √2 の謎に出会おうとしているのだ。そしてそれは、道元のことば:

修行の彼岸へいたるべしとおもふことなかれ、彼岸に修行あるがゆゑに。

|正法眼蔵第三十四・仏教

と何らかの関係をもっているにちがいないと思っている。続きは次回。

 

The number and the amount are quite distinct ideas, representing the actions of counting and measuring respectively. You can count the exact number of a given collection of objects whenever you have access to the collection or there is a counting procedure available; It would sound strange if you say, “I bought nearly five apples”. Even if a statistical report says that Tokyo has a population of “about 9.3 million”, the attribute ‘about’ is just for an abbreviation. The exact number for Tokyo’s population at any given time does exist. On the other hand, measuring is about approximation –– about comparing an object with a standard, depending on the precision of measuring devices. There is always an approximately such and such meter long stick.

Now imagine an ideal gauge ‘G’ that can measure the length of an object at any given exactitude. A machine MG equipped with G would make a product precisely at any desired size. Suppose you have a 1-inch square plate cut with MG and try to measure the length of its diagonal. MG will ask you the exactitude you want, and you will input a value, say 1/N, where N could be whatever big number you want. MG would instantly produce a series of measurements responding to your requests:

1.414 1.4142 1.41421 1.414213 1.4142135 …

Do not ask, “it is just the value for √2, isn’t it?” Do ask about how the ever lasting series of figures above could be the value for √2, or how a series of figures generated by measurement could meet a single so-called ‘real’ number. I feel there is a non-trivial link between this question and the Dōgen’s words below:

Do not expect that practice leads to the other shore; there is practice on the other shore.

| The Buddha’s Teaching, Shōbōgenzō Ch.34

The link in question will be discussed in the coming post.

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