もしも道元が数学者だったなら | Dōgen’s sequence of practice

 

修行の彼岸へいたるべしとおもふことなかれ、彼岸に修行あるがゆゑに。

|正法眼蔵第三十四・仏教

これは「修行に終りはない」という意味にとっていいのだろうか。もしそうなら「彼岸」はなんのためにあるのか。「彼岸」とは(煩悩の)川を渡り切った向こう岸のことだけど、それは日常行為にとっての「目標」みたいなもので、修行を動機付けるための方便にすぎないのだろうか。…と考えているうちに、これは「数列」に似ている!と思った(前回)。

高校で無理数を習った読者はそれを一旦忘れてもらって、√2 という記号を、次の命令を表すものとする:

x2 < 2 を満たす、小数点以下 n 桁の小数で最大のものを書け。

その小数を an としてこの命令を実行すると、

a0=1, a1=1.4, a2=1.41, a3=1.414,  a4=1.4142, . . .   (✻)

という数列が出来る。念のため a1と a2 についてだけ確かめてみると、

1.4×1.4 = 1.96 < 2,   1.5×1.5=2.25 > 2

1.41×1.41 = 1.9881 < 2,   1.42×1.42 = 2.0164 > 2

以下同様。こうして命令 √2 は数列 1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, … を生成する。これを

√2 → 1.4142…

と略記しよう。右辺の 1.4142… は数列 (✻) の省略形であって、数ではない。数に形の上で似ているだけである。しかしこれを数と見なして、数列 (✻) の無限右方に追加すれば、(✻) は 1.4142… という「数」に限りなく近づく数列に見える。あるいは、命令とその実行結果を同一視すれば( → を = に置き換える)、「数列 (✻) は √2 に限りなく近づく」という言い方もできる。数列の「彼岸」としての √2 に。

命令の実行(修行)によって彼岸に到達できるというのは、そう見えるだけのことなのだ。彼岸とは、修行そのもののことなのだから。「修行の彼岸へいたるべしとおもふことなかれ、彼岸に修行あるがゆゑに」。

 

Don’t believe that practice should lead us to the other shore; there is practice on the other shore. | “The Buddha’s Teaching” in Shōbōgenzō

Does this mean that there is no such thing as ‘the other shore’ beyond the sea of ever-lasting practice? Is it a mere expedient to encourage the practitioners just like goals for schoolworks? While thinking about these questions, the idea of sequence came up to me. If you have learned about the irrational numbers at school math class, I ask you to forget it all. Now let √2 be a symbol for the following instruction:

“Write down the maximal number to the n-th decimal that satisfies x< 2.”

Let an be the number defined above, then performing this instruction will generate the followin sequence:

a0=1, a1=1.4, a2=1.41, a3=1.414,  a4=1.4142, . . .   (✻)

Calculate some of the values for confirmation, say, for a1 and a2 :

1.4×1.4 = 1.96 < 2,   1.5×1.5=2.25 > 2

1.41×1.41 = 1.9881 < 2,   1.42×1.42 = 2.0164 > 2

It works all right. The instruction √2 surely produces the sequence 1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, …, or shortly,

√2 → 1.4142…

Notice that 1.4142… is not representing any number although it looks like a number; it is in fact an abbreviated form for the sequence (✻). Without adding a complex logical operation to re-interpret it as an ‘irrational’ number and place it at the furthest end of (✻), you will not be allowed to imagine the sequence (✻) to approach 1.4142… as its limit. Without inserting another operation to identify the instruction with its effect, that is, to replace → with = , it will not be valid to say that √2 is the limit, the other shore of the sequence (✻).

As Dōgen remarked, it is a misconception that practice should lead us to the other shore. Because what looks like the other shore actually represents the sequence of practice –– not the limit or goal of practice ––, it is obvious that there is practice on the other shore.

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